Phép tính dãy các phân số viết theo quy luật được giải quyết như thế nào?

XEM THỐNG KÊ ĐIỂM CHUẨN VÀO LỚP 10 CÁC TỈNH

Bấm vào đây

Ở chương trình toán 4, toán 5, toán 6 có dạng toán thực hiện phép tính giữa các phân số. Một dãy phân số làm phép tính nhìn rắc rối, vừa thấy đã “sợ”, nhưng thực tế, các phân số trong phép tính có thể được viết theo những quy luật nhất định. Chỉ cần phát hiện ra quy luật, chúng ta có thể thực hiện phép tính một cách dễ dàng.

Khi giải các bài toán về phân số, ta thường gặp các bài toán tính tổng các phân số mà tử và mẫu của chúng được viết theo quy luật.

Tuy nhiên không phải bài toán nào ta cũng phát hiện được ngay quy luật mà phải qua một số phép biến đổi dựa trên tính chất cơ bản của phân số như nhân cả tử và mẫu với cùng một số để tìm quy luật của mẫu, áp dụng hợp lý tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng để biến đổi tử đúng bằng hiệu hai thừa số dưới mẫu…

VD1: Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy sau:

a/ 1/1.2 ; 1/ 2.3 ; 1/ 3.4 ……….

b/ 1/6 ; 1/ 66 ; 1/ 176……….

Giải

Trước hết ta có nhận xét sau:

Tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy là:

a/ 1/ 1.2 + 1/ 2.3 + 1/ 3.4 +………+ 1/ 100.101

Các phân số trong tổng có tử bằng nhau và đúng bằng hiệu hai thừa số dưới mẫu nên ta dùng công thức biến đổi:

m/ b. ( b+ m ) = 1/ b – 1/ b+m

Vậy 1/ 1.2 + 1/ 2.3 + 1/ 3.4 +………+ 1/ 100.101 = 1 – 1/ 101 = 100/ 101

b/ Trước hết ta viết các mẫu thành tích theo quy luật:

6 = 1.6 ; 66 = 6. 11 ; 176 = 11. 16……

số hạng thứ n của dãy có dạng : ( 5n – 4 ) ( 5n + 1 )

=> số hạng thứ 100 của dãy có dạng : ( 5. 100 – 4 ) ( 5. 100 + 1 ) = 496 . 501

lại có 1- 1/6 = 5/ 1.6 ; 1/6 – 1/11 = 5/ 6.11

Từ đó: 1/6 + 1/ 66 + 1/ 176 + …. + 1/ 496. 501 = 1/5 .( 1 – 1/6 + 1/6 – 1/11 + 1/11 – …….+ 1/ 496 – 1/ 501 ) = 1/5 . ( 1 – 1/500) = 1/5 . 500/ 501 = 100/ 501

VD2: Tính tổng

B= 1/ 1.2.3 + 1/ 2.3 4 + 1/ 3.4.5 + …. + 1/ 48.49.50

NX: Mỗi số hạng của tổng có dạng

2m = 1 _ 1

b. ( b+m ).(b+ 2m ) b.( b+ m ) ( b+m ).( b+ 2m )

Mà ta có : 1/ 1.2 – 1/ 2.3 = 2/ 1.2.3

1/ 2.3 – 1/3.4 = 2/ 2.3.4

Từ đó => B = 1/2 . ( 2/ 1.2.3 + 2/ 2,3.4 + … + 2/ 48. 49. 50 ) = 1/2 .( 1/ 1.2 – 1/ 2.3 + 1/ 2.3 – …..- 1/ 49.50)

= 1/2. ( 1/ 1.2 – 1/ 49.50 ) = 1/ 2 . 1224/ 2450 = 306/ 1225.

VD3: Tính tổng

C = 1/10 + 1/15 + 1/21 + … + 1/ 120

Ta nhận xét thấy mẫu của các số hạng trong tổng khi phân tích thành tích thì không có quy luật nào cả nên không áp dụng được công thức. Tuy nhiên nếu nhân cả tử và mẫu của mỗi số hạng trong tổng với 2 ( Không làm thay đổi giá trị của phân số) thì sẽ dễ dàng viết được các mẫu theo quy luật.

Nhân cả tử và mẫu của C với 2, khi đó

C = 2/ 20 + 2/ 30 + 2/ 42 +… + 2/ 240

= 2/ 4.5 + 2/ 5.6 + 2/ 6.7 +… + 2/ 15.16

= 2. ( 1/ 4.5 + 1/ 5.6 + 1/ 6.7 + … + 1/ 15.16)

= 2. ( 1/4- 1/5 + 1/5 – … – 1/ 16)

= 2. ( 1/4 – 1/16) = 2. 3/16 = 3/ 8.